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By Franca D'agostini

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Per calcolare la lunghezza A della catenaria si utilizza l’integrale di linea: 2 ⎛ ⎛ d ⎞ x2 ⎞ ⎜ A=∫ f ( x ) ⎟ + 1 ⎟dx x1 ⎜ ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ quindi: 2 ⎞ d ⎛ ⎛ ⎞ 4 h k ⎛ ⋅ − ⎞ ( ) d 2 ⎜ ⎟ 2 A=∫ d ⎜ ⎜ ⋅ x + k ⎟ ⎟ + 1 dx ⎟ ⎟⎟ − ⎜ ⎜ dx d2 2⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ che fornisce il risultato: ⎛ d 2 + 16 ⋅ ( h − k )2 + 4 ⋅ ( h − k ) ⎞ 2 2 2 ⎟ 4 ⋅ ( h − k ) ⋅ d + 16 ⋅ ( h − k ) + d ⋅ ln ⎜ ⎜ ⎟ d ⎝ ⎠ A= 8⋅(h − k ) con ⎧h = 2 m ⎪ ⎨k = 1, 6 m ⎪d = 5 m ⎩ ⇒ y = 0, 256 ⋅ x 2 + 1, 6 si ottiene la lunghezza del filo tale che nel punto più basso è 1,6 m: A  5,084 m Quindi la casalinga dovrà mettere un filo lungo 5,08 m, praticamente 8,5 cm in più della distanza tra i pali del filo da stendere.

1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 GITTATA [m] Ora si conosce anche la lunghezza del tragitto percorso dalla pallottola (la velocità è un data del quesito). Per calcolare il tempo impiegato dal proiettile per giungere al suolo, si applica l’equazione del moto rettilineo uniforme: x [m] v[m/s] = G t [s] da cui si ricava il tempo: x [m] t [s] = G v [m/s] ricordando che s = h : 2⋅h v⋅ g 2⋅h 2⋅s = = = 0,589 [s] t= g g v ciò dimostra che il tempo impiegato da una pigna a cadere a terra, in caduta libera, da una altezza h è lo stesso di una pallottola spara da un’arma puntata perfettamente sull’orizzonte.

Nella pagina seguente è rappresentata la funzione matematica del filo in questione. 61 CATENARIA DEL FILO DA STENDERE 2,0 1,8 1,6 ALTEZZA [m] 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 SUOLO [m] 62 INDOVINELLO 21 “A Paola piacciono le ciliegie” Impostando l’equazione risolutiva ed indicando con contenute nel vaso: 5 1 Q = 13 + Q ⋅ ∑ n =3 n da cui si ottiene: Q Q Q Q = 13 + + + 3 4 5 Esplicitando Q e svolgendo l’equazione si ricava: Q il numero iniziale di ciliegie −1 ⎛ ⎛ 1 1 1 ⎞⎞ Q = 13 ⋅ ⎜1 − ⎜ + + ⎟ ⎟ = 60 ⎝ ⎝ 3 4 5 ⎠⎠ Quindi il vaso conteneva inizialmente 60 ciliegie e Paola in 3 giorni ne ha mangiato 47.

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Analitici e continentali. Guida alla filosofia degli ultimi trent'anni by Franca D'agostini


by Thomas
4.3

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